شرحدرسالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)
الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،حيثتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية،مثلتحليلالدوائرالكهربائية،ومعالجةالإشارات،وحتىفيميكانيكاالكم.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،وخصائصهاالأساسية،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.شرحدرسالأعدادالمركبة
1.تعريفالعددالمركب
العددالمركب(ComplexNumber)هوعدديُكتبعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aوbهماعددانحقيقيان.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أي:
[i^2=-1]
فيهذاالتمثيل:
-aيُسمىالجزءالحقيقيللعددالمركب(RealPart).
-bيُسمىالجزءالتخيليللعددالمركب(ImaginaryPart).
2.تمثيلالأعدادالمركبةبيانيًا
يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)علىالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقي(محورالسينات)يمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسي(محورالصادات)يمثلالجزءالتخيلي.
بهذاالشكل،يصبحلكلعددمركبنقطةمميزةفيالمستوى،ممايسهلفهمالعملياتمثلالجمعوالطرح.
شرحدرسالأعدادالمركبة3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
أ.جمعوطرحالأعدادالمركبة
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]
ب.ضربالأعدادالمركبة
يتمضربعددينمركبينباستخدامخاصيةالتوزيع،معمراعاةأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]
ج.قسمةالأعدادالمركبة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(وهوالعددالمركبنفسهمعتغييرإشارةالجزءالتخيلي):
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
4.القيمةالمطلقةومرافقالعددالمركب
- القيمةالمطلقةللعدد(z=a+bi)تُحسببالعلاقة:
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}] - المرافقالمركب(ComplexConjugate)للعدد(z=a+bi)هو:
[\overline{ z}=a-bi]
5.تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفي:
-الهندسةالكهربائية:لتحليلدوائرالتيارالمتردد.
-الفيزياء:فيميكانيكاالكمونظريةالموجات.
-الرسوماتالحاسوبية:لتمثيلالحركاتالدورانية.
الخلاصة
الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتُوسعنطاقالأعدادالحقيقية،ممايتيححلمعادلاتلميكنلهاحلولسابقًا.بفهمأساسياتهاوتطبيقاتها،يمكنالاستفادةمنهافيمجالاتمتعددة.نأملأنيكونهذاالشرحقدساعدكفيفهمهذاالدرسالمهم!
شرحدرسالأعدادالمركبةالأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،وتلعبدورًامهمًافيالعديدمنالتخصصاتمثلالهندسةوالفيزياءوالهندسةالكهربائية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىماهيةالأعدادالمركبة،وكيفيةتمثيلها،والعملياتالحسابيةالأساسيةالتييمكنإجراؤهاعليها.
شرحدرسالأعدادالمركبةماهيالأعدادالمركبة؟
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزأين:جزءحقيقي(RealPart)وجزءتخيلي(ImaginaryPart).يُكتبالعددالمركبعادةًعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقي.
-bهوالجزءالتخيلي.
-iهيالوحدةالتخيلية،حيث(i^2=-1).
تمثيلالأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:
شرحدرسالأعدادالمركبةالتمثيلالجبري(AlgebraicForm):
شرحدرسالأعدادالمركبة
هوالشكلالأساسي(z=a+bi).التمثيلالهندسي(GeometricRepresentation):
شرحدرسالأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيثيمثلالمحورالأفقيالجزءالحقيقيوالمحورالرأسيالجزءالتخيلي.التمثيلالقطبي(PolarForm):
شرحدرسالأعدادالمركبة
يُكتبالعددالمركببالصورة(z=r(\cos\theta+i\sin\theta))أو(z=re^{ i\theta})باستخدامصيغةأويلر،حيث:- rهوالمقدار(Modulus)ويُحسببـ(r=\sqrt{ a^2+b^2}).
- θهيالزاوية(Argument)وتُحسببـ(\theta=\tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right)).
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
شرحدرسالأعدادالمركبة
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]الضرب:
شرحدرسالأعدادالمركبة
يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيع،معمراعاةأن(i^2=-1).
[(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]القسمة:
شرحدرسالأعدادالمركبة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(ComplexConjugate)لتبسيطالمقام.
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالات،مثل:
-الهندسةالكهربائية:لتحليلدوائرالتيارالمتردد.
-الفيزياء:فيدراسةالموجاتوالاهتزازات.
-معالجةالإشارات:فيتحويلفورييه(FourierTransform).
الخلاصة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمأدواترياضيةقويةلحلمسائلمعقدة.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزأينالحقيقيوالتخيلي،وكيفيةتطبيقالعملياتالحسابيةعليها.
شرحدرسالأعدادالمركبةباستيعابهذاالدرس،ستتمكنمنالتعاملمعالأعدادالمركبةبثقةواستخدامهافيالتطبيقاتالعمليةالمختلفة.
شرحدرسالأعدادالمركبة