الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
فيعالمالرياضيات،تُعتبرالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)منالمفاهيمالأساسيةالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسة،الفيزياء،وحتىفيعلومالحاسوب.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.
ماهيالأعدادالمركبة؟
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزأين:
1.جزءحقيقي(RealPart)
2.جزءتخيلي(ImaginaryPart)
يُكتبالعددالمركبعادةًبالصيغة:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقي.
-(b)هوالجزءالتخيلي.
-(i)هوالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنها(i=\sqrt{ -1}).
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
[(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2i-4i)=4-2i]
الضرب:
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأن(i^2=-1).
مثال:
[(2+3i)\times(1-i)=2\times1+2\times(-i)+3i\times1+3i\times(-i)]
[=2-2i+3i-3i^2=2+i-3(-1)=5+i]القسمة:
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(Conjugate)لإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
مثال:
[\frac{ 1+2i}{ 3-4i}\times\frac{ 3+4i}{ 3+4i}=\frac{ (1+2i)(3+4i)}{ 9+16}=\frac{ 3+4i+6i+8i^2}{ 25}]
[=\frac{ 3+10i-8}{ 25}=\frac{ -5+10i}{ 25}=\frac{ -1+2i}{ 5}]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a).
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b).
تُعرفالمسافةبينالنقطة((a,الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطb))ونقطةالأصل((0,0))بـالمقياس(Modulus)وتُحسببالعلاقة:
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]
استخداماتالأعدادالمركبة
- الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد.
- الفيزياءالكمية:تلعبدورًاأساسيًافيمعادلاتميكانيكاالكم.
- معالجةالإشارات:تُستخدمفيتحويلاتفورييه(FourierTransform)لتحليلالموجات.
الخلاصة
الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.بفهمأساسياتهاوتطبيقاتها،يمكننااستخدامهافيمجالاتمتعددةلتحليلالظواهرالمعقدة.
إذاكنتمهتمًابتعلمالمزيد،يُنصحبالتعمقفيدراسةالتحليلالمركب(ComplexAnalysis)الذييقدمنظرياتمتقدمةحولهذهالأعداد.